Институт Философии
Российской Академии Наук




  Логические исследования. 2019. T. 25. № 1.
Главная страница » » Логические исследования » Логические исследования. 2019. T. 25. № 1.

Логические исследования. 2019. T. 25. № 1.

Логические исследования. 2019. T. 25. № 1.

Полный номер в формате PDF

В НОМЕРЕ


ИСТОРИЯ ЛОГИКИ


В.А. Бажанов. Жан ван Хейеноорт как историк логики
В статье предпринимается попытка достаточно лаконичного обзора жизни и творчества Жана ван Хейеноорта (1912-1986) в области истории логики. Приводит­ся информация биографического характера, в которой отмечается отношение ученого к марксизму и его тесное в определенный период сотрудничество с Л.Д. Троцким, разоча­рование в ключевых принципах марксистской доктрины и ее практической реализации, но сохранение в целом интереса к этому политическому течению. На основании неко­торых неопубликованных материалов, полученных из архива американской математики в Остине, штат Техас, описываются работы ван Хейеноорта в области истории логики. Отмечается, что математическое образование он получил как геометр и тополог, но его интересы перенеслись в логику, которая по природе своей доказательности и канонам строгости рассуждений была близка геометрии. Особый акцент в статье делается на обстоятельствах работы над фундаментальной антологией развития логической мысли «От Фреге до Гёделя», составленной и прокомментированной ван Хейеноортом и рядом его коллег. Обращается внимание на то, что вне поля зрения антологии осталось ал­гебраическое направление развития математической логики. Описываются труды ван Хейеноорта, относящиеся к теореме о неполноте и первым двум томам собрания сочине­ний К. Гёделя в начале 1980-х годов, прервавшиеся в результате гибели ван Хейеноорта. Приводятся оценки его коллег работ ван Хейеноорта по истории логики.

Ключевые слова: Жан ван Хейеноорт, Л.Д. Троцкий, история логики, теоретико-квантификационное и алгебраическое направления в логике, Г. Фреге, К. Гёдель.

DOI: 10.21146/2074­1472-2019-25-1-9-20


ФИЛОСОФИЯ И ЛОГИКА


А.С. Боброва. Как сделать тавтологии ясными?
В статье показывается, каким образом первый раздел теории экзистен­циальных графов Ч. Пирса отвечает на вопрос Л. Витгенштейна: «Как должна быть устроена система знаков, чтобы каждая тавтология распознавалась в ней одним и тем же способом?» Теория экзистенциальных графов или теория графов — диаграмматическая логическая система, базовой единицей которой является диаграмма (внешне похожая на диаграммы Эйлера). Ее первый раздел, альфа-графы, примерно соотносится с пропо­зициональным фрагментом классической логики. Синтаксис теории нагляден, точнее, он иконичен, а потому иконичным оказывается и решение задачи Витгенштейна. Чтобы определить тип формулы, не требуется никаких преобразований. Тавтологии наблюде-мы. Возможность усматривать тавтологии объясняется не только диаграмматически-ми особенностями синтаксиса, но и его минимальностью. Единственным знаком теории (первый раздел) является разрез (контур упомянутой круговой диаграммы): размеще­ние разрезов рядом друг с другом, внутри друг друга порождает не нового вида знаки, а различного вида графы. Разрез выполняет техническую и логическую функции. В этом смысле теория графов оказывается лаконичнее теорий с NAND- или NOR-операторами. В свете рассуждений о тавтологиях в статье затрагивается вопрос эволюции разреза. Разрез, который при самом простом толковании понимается как негация, представля­ет собой вырожденную импликацию. Именно импликация, а не негация, конъюнкция или дизъюнкция оказывается первичным знаком теории. На первый взгляд такое ре­шение может показаться странным: импликация — самая сложная для понимания ло­гическая операция. Вместе с тем именно импликация подчеркивает фундаментальную роль логического следования, отражает его основные свойства (антисимметричность и транзитивность).

Ключевые слова: теория экзистенциальных графов, логические диаграммы, Пирс, Витгенштейн, тавтологии.

DOI: 10.21146/2074-1472­2019-25-1-20-36

 
Н.В. Зайцева. Загадка парадеигмы
Статья продолжает исследование парадеигмы, или рассуждения на осно­вании примера. Это рассуждение анализируется Аристотелем в «Первой Аналитике», и в риторическом ключе рассматривается как один из способов убеждения — в «Ри­торике». В предыдущих статьях акцент был сделан на когнитивно-эпистемологической характеристике соответствующей познавательной процедуры, в данной работе в цен­тре внимания оказываются логические характеристики парадеигмы. В первом разде­ле анализируются соответствующие фрагменты текста Аристотеля и дается краткое изложение когнитивно-феноменологического анализа парадеигмы, устанавливается ее связь с аналогизирующей апперцепцией (аппрезентацией) Гуссерля. В следующем раз­деле выявляется логическая форма рассуждения на основании примера, показывается его несводимость к другим типам правдоподобных (недедуктивных) рассуждений, та­ким как обобщающая индукция, аналогия и абдукция. На этом основании выдвигает­ся предположение о том, что прадаеигма представляет собой особый самостоятельный вид правдоподобных рассуждений. В заключительной части статьи рассматривается роль парадеигмы и лежащей в ее основе когнитивной процедуры в логико-философских взглядах Аристотеля. Особое внимание уделяется соответствующей когнитивной проце­дуре познания первоначал, описываемой Аристотелем во «Второй Аналитике».

Ключевые слова: парадеигма, правдоподобные рассуждения, Аристотель, универ­сальные когнитивные механизмы рассуждений.

DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-1-37-51


А.О. Копылова. Пустые термины в логике У. Оккама: к чему отсылают химеры
Статья посвящена проблеме суппозиции терминов в предложениях о вы­мышленных объектах и их условиям истинности в учении Уильяма Оккама. У. Оккам является одной из главных фигур схоластического номинализма. Его онтологическая по­зиция достаточно радикальна и предполагает признание реального существования толь­ко двух типов сущностей — единичных субстанций и качеств. Элиминация универсалий из онтологической системы У. Оккама привела к трансформации существовавших ра­нее семантических теорий, в частности теории суппозиции. В реконструкции, ставшей классической, суппозиция сближалась с референцией, однако в 2000-е годы К. Дьютил-Новаэш предлагается реконструкция, в рамках которой суппозиция понимается как тео­рия пропозициональных значений. Этот подход предполагает понимание суппозиции как интенсиональной, а не экстенсиональной теории. Одним из ключевых аргументов в пользу данной интерпретации служит суппозиция в предложениях о вымышленных объ­ектах. На наш взгляд, данный аргумент вызывает затруднения. Термин, отсылающий к вымышленным объектам, не может иметь персональную, но лишь простую или матери­альную суппозицию. Вымышленные объекты У. Оккам называет невозможными. Химе­ра является невозможным объектом, потому что она понимается как то, что составлено из нескольких различных животных. Свойство быть смесью различных животных ведет к тому, что данная вещь должна включать в себя несколько субстанциальных форм, од­нако это исключено, поскольку то, что имеет больше чем одну субстанциальную форму, не может существовать в мире. Хотя объект является невозможным, термин, который к нему отсылает, может быть как субъектом, так и предикатом предложения. В учении У. Оккама утвердительные предложения о вымышленных объектах всегда будут лож­ными, так как в мире отсутствуют реально существующие химеры. Это, на наш взгляд, свидетельствует о том, что предложения о невозможных объектах скорее могут быть аргументом для экстенсионального, чем для интенсионального понимания суппозиции.

Ключевые слова: суппозиция, номинализм, вымышленные объекты, условия истин­ности.

DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-1-52-69



НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА


V.L. Vasyijkov. Quantum categories for quantum logic
The paper is the contribution to quantum toposophy focusing on the abstract orthomodular structures (following Dunn-Moss-Wang terminology). Early quantum topo-sophical approach to "abstract quantum logic" was proposed based on the topos of functors [E, Sets] where E is a so-called orthomodular preorder category — a modification of categor­ically rewritten orthomodular lattice (taking into account that like any lattice it will be a finite co-complete preorder category). In the paper another kind of categorical semantics of quantum logic is discussed which is based on the modification of the topos construction itself — so called quantos — which would be evaluated as a non-classical modification of topos with some extra structure allowing to take into consideration the peculiarity of nega­tion in orthomodular quantum logic. The algebra of subobjects of quantos is not the Heyting algebra but an orthomodular lattice. Quantoses might be apprehended as an abstract re­flection of Landsman's proposal of "Bohrification", i.e., the mathematical interpretation of Bohr's classical concepts by commutative C*-algebras, which in turn are studied in their quantum habitat of noncommutative C*-algebras — more fundamental structures than com­mutative C*-algebras. The Bohrification suggests that topos-theoretic approach also should be modified. Since topos by its nature is an intuitionistic construction then Bohrification in abstract case should be transformed in an application of categorical structure based on an orthomodular lattice which is more general construction than Heyting algebra — orthomod-ular lattices are non-distributive while Heyting algebras are distributive ones. Toposes thus should be studied in their quantum habitat of "orthomodular" categories i.e. of quntoses. Also an interpretation of some well-known systems of orthomodular quantum logic in quan-tos of functors [E, QSets] is constructed where QSets is a quantos (not a topos) of quantum sets. The completeness of those systems in respect to the semantics proposed is proved.

Keywords: Quantum logic, quantum conditional, quantos, polynomial exponentiation, quantum sets.


DOI: 10.21146/2074-1472­2019-25-1-70-87


И.А. Горбунов. Конечная аксиоматизируемость квазинормальных модальных логик
Квазиномальными модальными логиками называют логики в модальном языке, которые содержат логику K, замкнуты по правилу modusponensи для которых не постулирована замкнутость относительно правила Гёделя. До последнего времени этим логикам уделялось мало внимания, несмотря на то, что среди первых систем мо­дальных логик, сформулированных К. И. Льюисом, содержались и квазинормальные логики. Здесь мы рассмотрим вопрос о конечной аксиоматизируемости квазинормаль­ных модальных логик. Как известно, квазинормальный напарник логики Kне имеет конечной аксиоматизации. Кроме того, существуют и другие модальные нормальные конечно-аксиоматизируемые логики, квазинормальные напарники которых не имеют конечной аксиоматизации, на­пример логика D. Поэтому вопрос о конечной аксиоматизируемости той или иной мо­дальной квазинормальной логики нетривиален. Отметим, что известные частные критерии конечной аксиоматизируемости квазинор­мальных логик сформулированы только для квазинормальных напарников нормальных модальных логик. В данной работе получено обобщение этих частных критериев на случай произволь­ных квазинормальных модальных логик, попутно указана возможная аксиоматизация этих логик. Таким образом, получен частный критерий конечной аксиоматизируемости, общий как для квазинормальных напарников нормальных логик, так и для квазинор­мальных логик, которые таковыми не являются. Также в работе приведен алгоритм, который по относительной аксиоматизации ква­зинормальной логики Lнад квазинормальным вариантом логики Kдает абсолютную аксиоматизацию логики L. Отдельно рассмотрены аксиоматизации расширений логики K4. Сформулирован част­ный критерий конечной аксиоматизируемости расширений этой логики. Приведен алго­ритм, который по относительной аксиоматизации квазинормальной логики Lнад ква­зинормальным вариантом логики K4 дает абсолютную аксиоматизацию логики L.

Ключевые слова: квазинормальные логики, квазинормальные напарники нормальных логик, абсолютная аксиоматизация, относительная аксиоматизация, конечная аксиома­тизируемость.

DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-1-88-99


G.K. Japaridze. Computability logic: Giving Caesar what belongs to Caesar
The present article is a brief informal survey of computability logic (CoL). This relatively young and still evolving nonclassical logic can be characterized as a formal the­ory of computability in the same sense as classical logic is a formal theory of truth. In a broader sense, being conceived semantically rather than proof-theoretically, CoL is not just a particular theory but an ambitious and challenging long-term project for redeveloping logic. In CoL, logical operators stand for operations on computational problems, formulas represent such problems, and their "truth" is seen as algorithmic solvability. In turn, computational problems — understood in their most general, interactive sense — are defined as games played by a machine against its environment, with "algorithmic solvability" meaning existence of a machine which wins the game against any possible behavior of the environment. With this semantics, CoL provides a systematic answer to the question "What can be computed?", just like classical logic is a systematic tool for telling what is true. Furthermore, as it happens, in positive cases "What can be computed" always allows itself to be replaced by "How can be computed", which makes CoL a problem-solving tool. CoL is a conservative extension of classical first order logic but is otherwise much more expressive than the latter, opening a wide range of new application areas. It relates to intuitionistic and linear logics in a similar fashion, which allows us to say that CoL reconciles and unifies the three traditions of logical thought (and beyond) on the basis of its natural and "universal" game semantics.

Keywords: Computability logic; game semantics; constructive logic; intuitionistic logic; linear logic; interactive computability.

DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-1-100-119

 

ДИСКУССИИ

N. Nepejyoda. Deformalization as the immanent part of logical solving
Deformalization is the part of logical process least investigated and studied. It is often non-trivial and hard task because of subjective and objective complexities. Subjective complexities connected with logic. Deformalization is needed to present results of logical investigations to outsiders. Outsiders usually use languages and formalisms very far from logical ones. Their thesaurus usually barely intersects with logical one. Thus for­mulations on logical language cannot be appreciated and comprehended by outsiders and formulation of results needs to be completely replaced by non-logical. This task often is like to translating from one natural language into another with radically different semantic structure and system of notions (e.g. from Russian into Chinese and vice versa). Subjective complexities connected with roles. Systems of values of the problem solver and the decision consumer is radically different. Many aspects which were important during solution are out of scope of interests of the consumer. Many aspects which were "important" for the consumer are to be negligible for the solver but they are to be restored in presentation of the decision. This side of deformalization leads a bridge to the objective complexities. Objective complexities. Methods applied during formalization and solving induce "dual" methods are to be applied during deformalization. General conclusions and propositions. After analyzing whole process of logical solving in its unity it is possible to make some conclusions how logic can take a place which it is worth both in scientific analysis and in education. Interesting in more detailed speculations of this matter are addressed to the Russian variant.

Keywords: Applied logics, formalization, deformalization, translation from logical lan­guages, methodological conclusions, pedagogic conclusions.

DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-1-120-130