Новая философская энциклопедия

ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ – формальная теория, в которой описываются булевы соотношения (операции) между классами (множествами) объектов. Исчисление классов составляет часть более общей теории – множеств теории. К числу основных булевых операций относятся операции пересечения, объединения и взятия дополнения. Они обозначаются, соответственно, знаками «», «»,«′» и (на языке элементарной логики) определяются следующим образом:

x∈AB ≡ _dfx ∈A&x ∈ В,

x∈AB ≡ _dfx ∈A∨x ∈ В,

х∈A′≡ _df(x ∈ A).

Остальные операции, напр. вычитание и симметрическая разность, определяются через основные. Кроме того, с помощью определений можно задать пустой класс: 0 ≡ _df A  А′ и универсальный – 1 ≡ _df A  А′, а также ввести отношение включения класса в класс – A⊆B≡_dfAB = A.

Исчисление классов является одной из конкретных реализаций булевой алгебры (см. Алгебра логики). Последняя является непротиворечивой, полной и разрешимой теорией, в силу чего эти же свойства верны и для исчисления классов. В качестве модели исчисления классов обычно принимается множество всех подмножеств некоторого множества. Для наглядного представления операций над классами часто используют круги Эйлера или диаграммы Венна. При рассмотрении двухэлементной булевой алгебры ее реализациями являются двухэлементная логика классов, в которой имеются только универсальный и пустой классы, а также классическая факторалгебра высказываний и теория контактных сетей. Исчисление классов эквивалентно одноместному исчислению предикатов (см. Логика предикатов), а также т.н. расширенной аристотелевской силлогистике.

В.А.Бочаров