Институт Философии
Российской Академии Наук




  Материалы переписки
Главная страница » » Приложение к семинару. Записная книжка » Материалы переписки

Материалы переписки

                     29.08.2009.                Научная переписка
                                        ( Здравствуйте, Леонид Григорьевич!
                       Знаком с Вашей книгой «Проблема неполноты теории и её гносеологическое содержание» (1986). Можете ли Вы ответить на следующий вопрос. Кто автор традиционно излагаемого доказательства первой теоремы Гёделя о неполноте. Речь идёт об авторефлексивной формуле, утверждающей свою собственную невыводимость? У Гёделя немножко не о том.
                                                               Спасибо за помощь, с уважением
                                                                                  Виталий Филипповский. 17.08.09.)

                                                                   Привет Виталий!
     В твоём вопросе содержится два вопроса: вопрос об авторе доказательства первой теоремы и вопрос об авторефлексивной формуле. 1. Автором формулировки и доказательства первой теоремы Гёделя является сам Гёдель. 2. Автором авторефлексивной формулы является древнегреческий мудрец Эвбулид (парадокс Лжеца).
     Ответ на второй вопрос требует некоторого пояснения. Дело в том, что антиномии типа антиномии Рассела и парадокса «Лжец» являются своеобразной формой скрытого существования. Так антиномия Рассела представляет собой форму скрытого существования пустого множества, что и показано в моей книге в виде результата разрешения данной антиномии. Но как здесь понимается термин «существование»? В эмпирике мы идём в процессе познания от констатации бытия, существования чего-то к раскрытию его смысла. В математике и мат. логике ход мысли обратный: от смысловой осведомлённости об объекте − к утверждению его существования. Так в теории множеств утверждается существование пустого множества. Каков смысл данного утверждения? Пустое множество наделяется смыслом, исходящим от такого математического (арифметического) объекта, каким является число нуль. А логический ход мысли к нулю даётся через антиномию.
     Я говорю здесь об этом потому, что попытка решения парадокса «Лжец», предпринятая в моей книге, является неверной. Правильное решение дано в приложении к книге Павла Флоренского «Мнимости в геометрии» (2-е изд., М.: «Лазурь», 1991).
С авторефлексивной формулой дело, если говорить подробнее, обстоит так. Формулировка «Лжеца» на языке теории множеств и логической теории классов даёт антиномию Рассела. Формулировка того же парадокса «Лжец» на языке рекурсивного исчисления, разработанная Гёделем, приводит к утверждению существования гёделевой формулы. 
    Принято приписывать заслугу развёртывания антиномичной формы скрытого существования субъекту, каковым является только познающий человек. Хайдеггер показал, что в бытийном мышлении за переход от потаённого, скрытого к непотаённому , открытому отвечает фактор времени.
    И ещё одно замечание. Формула Гёделя выражает на арифметическом языке антиэнтропийный скачок. Он особенно чётко просматривается, когда мы переходим от рекурсивного исчисления к квантово-компьютерному исчислению (см.: мою статью в сб. «Методология науки: новые понятия и нерешённые проблемы». М.: Институт философии, 2004).
                                   С пожеланием успехов на трудном поприще осмысления гёделевых открытий
                                                                          Л.Г. Антипенко. 26.08.09.

                                                Пояснения к суждениям, высказанным в ответном письме

     Как показал П.А. Флоренский, логическая струрктура всякой антиномии имеет аворафлексивный характер. В этом убеждают следующие рассуждения. Рассматривается логический закон, согласно которому если из p cледует не-p, то из этого слеует не-p. Т.е. если утверждается некоторое высказывание р, а затем показывается, что из него вытекает (логически следует) его отрицание, то значит наше утверждение ложно. Но может оказаться, что получив посредством modus ponens не-р, мы затем убеждаемся, что из не-р следует р. Тогда мы получаем конъюнкцию р и не-р, т.е. антиномию. Так во всякой антиномии выявляется самоотрицание, т.е. та самая авторефлексивность, что заключается в парадоксе Лжеца.  

       Гегель, как известно, пытался использовать антиномический подход к выражению процессов исторического развития. Но он допустил при этом две серьёзные ошибки. Во-первых, он не проводил различия между подлинными антиномиями и логическими противоречиями. Поэтому антиномические формы скрытого существования вещей у него перепутывались с логическими отрицаниями существования, т.е. с пустыми предикатами типа "стена белая и не-белая". Во-вторых, у него раскрытие антиномических форм скрытого существования было оторвано от времени. Вот эти ошибки и исправил М. Хайдеггер, проведя различие между сущим и бытием и наделив бытие временным параметром. Что значит высказывание Хайдеггера "Время - истина бытия"? Это значит, что во времени скрытое существование вещей становится открытым, антиномия разрешается во времени. Отсюда и способность формулировать и разрешать антиномии той инстанции, которую Хайдеггер назвал Dasein, т.е. бытием-сознанием. А бытие-сознание - это, по Хайдеггеру, мы сами.

    К сожалению, этого обстоятельства не мог осознать Флоренский, когда утверждал, что антиномии  суть сами по себе высшие истины. За это его критиковали русские философы - Е. Трубецкой и др.

     Несколько слов о том, как сами специалисты математики подходят к вопросу о существовании математических объектов. Наиболее чётко по данному вопросу высказался Н.Н. Лузин. Он ввёл понятие поля законов существования. Математик, согласно Лузину,  должен располагать критерием, позволяющим судить о том, какие математические конструкты относятся к классу существующих объектов, и что остаётся за пределами этого класса. Понятно, что формальной логики недостаточно для того, чтобы выделить класс существующих объектов. Поэтому суждения о существовании в математике являются относительными в смысле их отношения к заранее установленному полю законов. В одних случаях полю законов придают слишком широкую трактовку, в других – более узкую, но всегда за ним оставляют ядро, на которое серьёзные специалисты, в своём большинстве, не покушаются. Это ядро содержит в себе бесконечность. Без бесконечности математика немыслима. Но с понятием бесконечного надо обращаться осторожно. Дело в том, что иногда за пределами конечного возводится в ранг существующего нечто сомнительное, т.е. нечто такое, что даётся посредством неконструктивных отрицательных определений. 
     Когда речь идёт о бесконечности, писал Лузин, только натуральный ряд целых положительных чисел 1, 2, 3, 4, … даёт совершенно ясное и положительное изображение. «Понятие несчётной бесконечности является чисто отрицательным понятием, не имеющим никакой объективной реальности. Это понятие, вызванное лишь человеческой способностью создавать доказательства «от противного», не обладает никакой достижимой реальностью и меняется от поля к полю» (Н.Н. Лузин. Собр. соч, т. II. М., 1958, с. 441). Известно, как много вариантов находят в ответе на вопрос, поставленный в континуум-гипотезе Кантора. Все они логически возможны, но логическая возможность существования не тождественна объективному существованию в математике. 

    Понятие поля законов существования является экспликацией понятия естественного смыслового поля, или геометро-числового аспекта того, что в философии принято называть Логосом. Более строгой экспликацией понятия смыслового поля, с учётом антиномической формы скрытого существования, является хайдеггеровская концепция бытия. Математический универсум, наряду с человеческой речью,  предстают, по Хайдеггеру, как зов бытия.