\paper[� ��������� �������������� ��������� ����������� ������\dots]{� ��������� �������������� ��������� ����������� ������ ��� ������������ ������} {�.\,�.\, ��������}

\label{devyatkin}

\begin{abstract}
In this paper a number of functional properties of implicative-negative three-valued logical matrices with the classical cosequence relation is described.
\end{abstract}

\begin{keywordsrus}
������������ ����������������� ������, ����������� ������, ��������� ����������� ����������, ���������� �������
\end{keywordsrus}

� ������ ������ ����� ���������� ��� ����������� �������� ��� ������������ ����������������� ������, ����������� � ������� ���������� ������.

����� ��� ����������� �����������.

\begin{definition}[������� ������������������ ����� $L_{\supset\neg}$]
�������� ������������������ ����� $L_{\supset\neg}$ ����������� ������ ��������� �������: �������� ���������� ������ $\supset$, ������� ���������� ������ $\neg$, ����������������� ���������� $p_1, p_2, p_3, \dots$, � ����� ������.
\end{definition}


\begin{definition}[$L_{\supset\neg}$-�������]
������ ����������������� ���������� $p_i$ ���� $L_{\supset\neg}$-�������. ���� $A$~--- $L_{\supset\neg}$-�������, �� $\neg A$ ���� $L_{\supset\neg}$-�������. ���� $A$ � $B$~--- $L_{\supset\neg}$-�������, �� $A \supset B$ ���� $L_{\supset\neg}$-�������. ����� ���� �� $L_{\supset\neg}$-�������.
\end{definition}

\begin{definition}[���������� �������]
����� �������� ���������� �������� $M = \langle U, F, D\rangle$, ��� $U$~--- �������� ���������, $D$~--- �������� ������������ $U$, ���������������� ��� ��������� ���������� ��������, $F$~--- ��������� ��������, �������� �� $U$.
\end{definition}

���� �� ������� �����, �� ����� ������������� �������, � ������� ��������� $F$ �������� � �������� ���� �������� � ���� ������� ������� ��������.

\begin{definition}[������ $L_{\supset\neg}$-������� � $M$]
������ $v$ ������������ $L_{\supset\neg}$-������� $A$ � $M$ (������������~--- $|A|^M_v$) ��������� ������� �������: $|p|^M_v\in U$, ���� $p$ ���� ����������������� ����������; ���� $A$ � $B$ ���� $L_{\supset\neg}$-�������, � $\rightarrow$ � $\sim$ ����, ��������������, �������� � ������� ������� �������� $M$, �� $|A\supset B|^M_v = |A|^M_v\rightarrow |B|^M_v$, $|\neg A|^M_v = \sim|A|^M_v$.
\end{definition}

\begin{definition}[���������� �����]
$L_{\supset\neg}$-������� $A$ �������� ������� � ���������� ������� $M$, �.�.�. $|A|^M_v\in D$ ��� ������ ������ $v$ � $M$.
\end{definition}

\begin{definition}[��������� ����������� ����������]
$L_{\supset\neg}$-������� $B$ ��������� ������� �� ��������� ������� \textit{�} � $M$ (������������~--- \textit{�}\ $\models_M B$), �.�.�. �� ���������� ������ $v$ � $M$, ��� ������� ��� ������� �� \textit{�} ��������� ���������� ��������, � ������� $B$ ��������� ������������ ��������.
\end{definition}

\begin{definition}[������������ ��������� ����������� ���������� � $M$]
����� ���������� ������� $M_2 = \langle \{1, 0\}, \supset^+,\neg^+,\linebreak \{ 1\}\rangle$ ����  ������� ��� ������������ ����������������� ������, � $\supset^+$ � $\neg^+$ ������������ ������������ ��������� ���������� ��� ���������� � ���������. ����� $M_3 = \langle \{1,\frac{1}{2}, 0\},\supset^*,\neg^*,\{ 1\}\rangle$ ���� ������������ ������� � �������������� ����������-����\-�����, �� ������� ������ ���� �������� � ���� ������� ������� ��������. ����� ��������, ��� \textit{��������� ����������� ���������� � $M_3$ �������� ������������}, ���� � ������ ���� ����������� �������� �������: \textit{�}\ $\models_{M_2} B$, �.�.�. \textit{�}\ $\models_{M_3} B$.
\end{definition}

����� �������� ��������� ������� \cite{Dev_2008}:

\begin{theorem}
��������� ����������� � $M_3$ �������� ������������, ������ ����� ������� ������ $M_3$ �������� ��������� ��������: $x \supset^* y = 1$, �.�.�. $x \in \{ \frac{1}{2}, 0\}$ ��� $y = 1$, � ��������� ������ $x \supset^* y \in \{\frac{1}{2}, 0\}$; $\neg^* x = 1$, �.�.�. $x \in \{ \frac{1}{2}, 0\}$, � ��������� ������ $\neg^* x \in \{ \frac{1}{2}, 0\}$.
\end{theorem}

���������� ������ ������� ������, ���������� ������� �������:

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}

\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\supset^\alpha$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$0$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$1$&$1$\\
$0$&$1$&$1$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
&$\neg^\epsilon$\\
\hline
$1$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$1$\\
$0$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\supset^\beta$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$1$&$1$\\
$0$&$1$&$1$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
&$\neg^\epsilon$\\
\hline
$1$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$1$\\
$0$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
\\
\\
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\supset^\gamma$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$0$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$1$&$1$\\
$0$&$1$&$1$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
&$\neg^\epsilon$\\
\hline
$1$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$1$\\
$0$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\supset^\delta$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$1$&$1$\\
$0$&$1$&$1$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
&$\neg^\epsilon$\\
\hline
$1$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$1$\\
$0$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
\\
\\
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\supset^\alpha$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$0$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$1$&$1$\\
$0$&$1$&$1$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
&$\neg^\varphi$\\
\hline
$1$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$1$\\
$0$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\supset^\beta$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$1$&$1$\\
$0$&$1$&$1$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
&$\neg^\varphi$\\
\hline
$1$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$1$\\
$0$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
\\
\\
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\supset^\gamma$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$0$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$1$&$1$\\
$0$&$1$&$1$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
&$\neg^\varphi$\\
\hline
$1$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$1$\\
$0$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\supset^\delta$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$1$&$1$\\
$0$&$1$&$1$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
&$\neg^\varphi$\\
\hline
$1$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$1$\\
$0$&$1$\\
\hline
\end{tabular}
\\
\end{tabular}
\end{center}

����� �������, ����� ���� ��������� ������ ���������� ������ � �������������� ����������-���������, � ������� ��������� ����������� ���������� �������� ������������. ��������� ��, ��������������, ��� $M_3^{\alpha , \epsilon}$, $M_3^{\beta , \epsilon}$, $M_3^{\gamma , \epsilon}$, $M_3^{\delta , \epsilon}$, $M_3^{\alpha , \varphi}$, $M_3^{\beta , \varphi}$, $M_3^{\gamma , \varphi}$, $M_3^{\delta , \varphi}$. ��������� �� ������������� ������ ���������� ��������. ���, ������ ����� ������~--- ��� ������� ��������� � ��������� ����������� ������ ������� $\mathbf{B_3}$\cite{Boc_1938}. ������ $\supset^\beta$ ���� ���������� ������� � ����� ���� ����� \cite{Avr_1991},\ \cite{Mon_1967},\ \cite{Slu_1967}.

��� �������� (��., ��������, \cite{Men_1984}), ������������ ���������� � ��������� �������� ������������� ������ ������� ������, �� ���� � �� ������� ����� ���� �������� ����� �������, �������� �� $\{ 1, 0\}$. ���������, ��� � ������ � ������������ ���� �������� ������ �������� ���������� ����.


\begin{proposition}
��������� ������� �������� $M_3^{\alpha , \epsilon}$ � $M_3^{\delta , \varphi}$, ������ �������� ������� ���� �� ��������� ���� ������.
\end{proposition}

\begin{proof}
����, ��� ����� �������, ��������� � ������ �������� ����� ������� �������� $\{1, 0\}$ ��� $\{1, \frac{1}{2}\}$ ��������������. ������ ��� ������� ��� ��������� ������.
\end{proof}

\begin{proposition}
� $M_3^{\beta , \epsilon}$ �������� ������ $M_3^{\alpha , \epsilon}$, � �� �������� ������� ������ ��������� ������.
\end{proposition}

\begin{proof}
���������� �� $M_3^{\alpha , \epsilon}$ ���������� ��������� �������: $ x\supset^\alpha y = \neg^\epsilon\neg^\epsilon(x\supset^\beta y)$. � �� �� �����, ��� ������� $M_3^{\beta , \epsilon}$ ����� ������� �������� $\{1, 0\}$ ��� ����������� �������� ���������� ��� �� ����������. ������ ��� ������� ��� ��������� ������.
\end{proof}

\begin{proposition}
� $M_3^{\beta , \varphi}$ �������� ������ $M_3^{\delta , \varphi}$, � �� �������� ������� ������ ��������� ������.
\end{proposition}

\begin{proof}
���������� �� $M_3^{\delta , \varphi}$ ���������� ���������� ����������� ������: $ x\supset^\delta y = \neg^\varphi\neg^\varphi(x\supset^\beta y)$.

�������, ��� ����� ������� �������� $M_3^{\beta , \varphi}$ ������ �������� ������� �������� $f^1$, �����, ��� $f^1(1)= 0$.

����������� ���������. ����� $f^1$ ������ �������� � $M_3^{\beta , \varphi}$, ��������� ����� $k$ ��������� $\supset^{\beta}$ � $\neg^{\varphi}$.

������ ��������, ��� $f^1$ ����� �������� ����������� ������������ $g$ �������� $\supset^{\beta}$ � $\neg^{\varphi}$, ���������� � �������� $k$ ��������� ������ ��������.

������ 1. $g(x) = \neg^{\varphi} h(x)$. ����� $\neg^{\varphi} h(1) = 0$. ������ ��� ���������� � ���� ����������� $\neg^{\varphi}$.

������ 2. $g(x) = h'(x) \supset^{\beta} h''(x)$.
\begin{enumerate}
	\item $h'(1) \supset^{\beta} h''(1) = 0$ (�� �������)
	\item $h'(1) = 1$ � $h''(1) = 0$ (�� ����������� $\supset^{\beta}$)
	\item $h''(1) = 0$. ����� ��������� $\supset^{\beta}$ � $\neg^{\varphi}$ � $h''$ ������ $k$. ������������ � ����������� ����������.
\end{enumerate}

�������� ���������. �������� $f^1$ �� ������� � $M_3^{\beta , \varphi}$.

������ ���� �������� ������� � ��������� ��������: $x \supset^{\alpha} \neg^{\varphi} x$ ��� $M_3^{\alpha , \varphi}$, $x \supset^{\gamma} \neg^{\varphi} x$ ��� $M_3^{\gamma , \varphi}$, $\neg^{\epsilon} x$ ��� ��������� ������.

\end{proof}

\begin{proposition}
$M_3^{\delta , \epsilon}$ ������������� ������������ $M_3^{\alpha , \varphi}$. � ���� �������� �������� ������� �������� $M_3^{\alpha , \epsilon}$ � $M_3^{\delta , \varphi}$ � �� �������� ������� �������� $M_3^{\beta , \epsilon}$, $M_3^{\beta , \varphi}$, $M_3^{\gamma , \epsilon}$ � $M_3^{\gamma , \varphi}$.
\end{proposition}

\begin{proof}
�������������� ��������������� $M_3^{\delta , \epsilon}$ �\linebreak $M_3^{\alpha , \varphi}$ � ����������� ������� �������� $M_3^{\alpha , \epsilon}$ � $M_3^{\delta , \varphi}$:
\begin{itemize}
	\item $x\supset^\alpha y = \neg^\epsilon\neg^\epsilon(x\supset^\delta y)$;
	\item $\neg^\varphi x = x \supset^\delta \neg^\epsilon x$;
	\item $x\supset^\delta y = \neg^\varphi\neg^\varphi(x\supset^\alpha y)$;
	\item $\neg^\epsilon x = x \supset^\alpha \neg^\varphi x$.
\end{itemize}

������ �������, ��� ����� ������� �������� $M_3^{\delta , \epsilon}$ ������ �������� ������� �������� $f^1$, �����, ��� $f^1(\frac{1}{2})\neq f^1(0)$, ���������� �� ������ ������ ��������� ������� ��������.

����������� ���������. ����� $f^1$ ������ �������� � $M_3^{\delta , \epsilon}$, ��������� ����� $k (k \geq 1)$ ��������� $\supset^{\delta}$ � $\neg^{\epsilon}$.

��������, ��� $f^1$ ����� �������� ����������� ������������ $g$ �������� $\supset^{\delta}$ � $\neg^{\epsilon}$, ���������� � �������� $k$ ��������� ������ ��������.

������ 1. ����� $g(x) = \neg^{\epsilon}h(x)$
\begin{enumerate}
	\item $\neg^{\epsilon}h(\frac{1}{2}) \neq \neg^{\epsilon}h(0)$ (�� �������)
	\item $h(x)$ �������� $l$ ($0<l<k$) ��������� ������� �������� ��� $h(x)$ ���� $x$ (�� �������)
	\item ����� $h(x)$ ���� $x$ (���������)
	\item $\neg^{\epsilon}\frac{1}{2} \neq \neg^{\epsilon}0$ (�� 1, 3)
	\item $\neg^{\epsilon}\frac{1}{2} = \neg^{\epsilon}0$ (�� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $h(x)$ �������� $l$ ��������� ������� �������� (�� 2--5)
	\item $h(\frac{1}{2}) = h(0)$ (�� 6 �� ������������ ���������)
	\item $\neg^{\epsilon}h(\frac{1}{2}) = \neg^{\epsilon}h(0)$ (�� 7 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item �������, ��� $g(x) = \neg^{\epsilon}h(x)$ (�� 1, 8)
\end{enumerate}

������ 2. ����� $g(x) = h'(x) \supset^{\delta} h''(x)$.
\begin{enumerate}
	\item $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\delta} h''(\frac{1}{2})\neq h'(0) \supset^{\delta} h''(0)$ (�� �������)
	\item $h'(x)$ �������� $l$ ($0<l<k$) ��������� ������� �������� ��� $h'(x)$ ���� $x$ (�� �������)
	\item $h''(x)$ �������� $m$ ($0<m<k$) ��������� ������� �������� ��� $h''(x)$ ���� $x$ (�� �������)
	\item ����� $h'(x)$ ���� $x$ � $h''(x)$ ���� $x$ (���������)
	\item $\frac{1}{2} \supset^{\delta} \frac{1}{2}\neq 0 \supset^{\delta} 0$ (�� 1, 4)
	\item $\frac{1}{2} \supset^{\delta} \frac{1}{2} = 0 \supset^{\delta} 0$ (�� ����������� $\supset^{\delta}$)
	\item �������, ��� $h'(x)$ ���� $x$ � $h''(x)$ ���� $x$ (�� 5, 6)
	\item ����� $h'(x)$ �������� $l$ ��������� � $h''(x)$ �������� $m$ ��������� ������� ��������.
	\item $h'(\frac{1}{2}) = h'(0)$ (�� 8 �� ������������ ���������)
	\item $h''(\frac{1}{2}) = h''(0)$ (�� 8 �� ������������ ���������)
	\item $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\delta} h''(\frac{1}{2})= h'(0) \supset^{\delta} h''(0)$ (�� ����������� $\supset^{\delta}$)
	\item �������, ��� $h'(x)$ �������� $l$ ��������� � $h''(x)$ �������� $m$ ��������� ������� �������� (�� 1, 11).
	\item ����� $h'(x)$ �������� $l$ ��������� ������� �������� � $h''(x)$ ���� $x$ (���������)
	\item $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\delta} (\frac{1}{2})\neq h'(0) \supset^{\delta} (0)$ (�� 1, 13)
	\item $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\delta} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ � $h'(0) \supset^{\delta} (0) = 1$, ��� $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\delta} (\frac{1}{2}) = 1$ � $h'(0) \supset^{\delta} (0) = \frac{1}{2}$ (�� 14 �� ����������� $\supset^{\delta}$)
	\item ����� $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\delta} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ � $h'(0) \supset^{\delta} (0) = 1$ (���������)
	\item $h'(\frac{1}{2}) = 1$ (�� 16 �� ����������� $\supset^{\delta}$)
	\item $h'(0) \neq 1$ (�� 16 �� ����������� $\supset^{\delta}$)
	\item $h'(\frac{1}{2})\neq h'(0)$ (�� 17, 18)
	\item �������, ��� $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\delta} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ � $h'(0) \supset^{\delta} (0) = 1$ (�� 19 � ������������ ���������)
	\item $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\delta} (\frac{1}{2}) = 1$ � $h'(0) \supset^{\delta} (0) = \frac{1}{2}$ (�� 15, 20)
	\item $h'(\frac{1}{2}) \neq 1$ (�� 21 �� ����������� $\supset^{\delta}$)
	\item $h'(0) = 1$ (�� 21 �� ����������� $\supset^{\delta}$)
	\item $h'(\frac{1}{2})\neq h'(0)$ (�� 22, 23)
	\item �������, ��� $h'(x)$ �������� $l$ ��������� ������� �������� � $h''(x)$ ���� $x$ (�� 24 � ������������ ���������)
	\item ����� $h'(x)$ ���� $x$ � $h''(x)$ �������� $m$ ��������� ������� �������� (���������)
	\item $\frac{1}{2} \supset^{\delta} h''(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ � $0 \supset^{\delta} h''(0) = 1$, ��� $\frac{1}{2} \supset^{\delta} h'' (\frac{1}{2}) = 1$ � $0 \supset^{\delta}h'' (0) = \frac{1}{2}$ (�� 26 �� ����������� $\supset^{\delta}$). ������ ��� ���������� � ���� �����������  $\supset^{\delta}$.
	\item �������, ��� $h'(x)$ ���� $x$ � $h''(x)$ �������� $m$ ��������� ������� �������� (�� 27)
	\item �������, ���  $g(x) = h'(x) \supset^{\delta} h''(x)$ (�� 2, 3, 4, 12, 25, 28)
\end{enumerate}
����� �������, ����� ������� �������� $M_3^{\delta , \epsilon}$ ������ �������� ������� �������� $f^1$, �����, ��� $f^1(\frac{1}{2})\neq f^1(0)$, ���������� �� ������ ������ ��������� ������� ��������.

������ ����� �������� ������� � $M_3^{\beta , \epsilon}$, $M_3^{\beta , \varphi}$, $M_3^{\gamma , \epsilon}$ � $M_3^{\gamma , \varphi}$: $(x\supset^{\beta}x)\supset^{\beta}x$, $(x\supset^{\gamma}x)\supset^{\gamma}x$.
\end{proof}
\begin{proposition}
$M_3^{\gamma , \epsilon}$ ������������� ������������ $M_3^{\gamma , \varphi}$. � ���� �������� ����� �������� ������� ������ ���� ��������� ������.\vspace{-3pt}
\end{proposition}
\begin{proof}
����� �������� ������ ����������� ���������� ��������� ��������:\vspace{-4pt}
\begin{itemize}
	\item $\neg^\varphi x = x \supset^\gamma\neg^\epsilon x$\vspace{-2pt}
	\item $\neg^\epsilon x = x \supset^\gamma\neg^\varphi x$\vspace{-2pt}
	\item $x \supset^\beta y = x \supset^\gamma (\neg^\varphi y \supset^\gamma y)$\vspace{-2pt}
	\item $x \supset^\delta y = \neg^\varphi\neg^\varphi(x \supset^\gamma y)$\vspace{-2pt}
\end{itemize}\end{proof}

������� ���������� �����������, ����� ���������, ���\linebreak ����� ��������� $M_3^{\alpha , \epsilon}$, $M_3^{\beta , \epsilon}$, $M_3^{\gamma , \epsilon}$, $M_3^{\delta , \epsilon}$, $M_3^{\alpha , \varphi}$, $M_3^{\beta , \varphi}$, $M_3^{\gamma , \varphi}$, $M_3^{\delta , \varphi}$ ����� ����� ������� �� ��������� ����������� ������� ������. ������, $M_3^{\gamma , \epsilon}$ � ������������� ������������� �� $M_3^{\gamma , \varphi}$ ��������� � ���� ���������, $M_3^{\alpha , \epsilon}$ � $M_3^{\delta , \varphi}$ ���� ����������� ��������, � $M_3^{\beta , \epsilon}$, $M_3^{\beta , \varphi}$ � $M_3^{\delta , \epsilon}$, ������������� ������������� $M_3^{\alpha , \varphi}$ ������������ ����� ��� ����������� ������������� ��������.

\begin{center}
\includegraphics[width=1\linewidth]{order}
\end{center}

\begin{proposition}
����� ������� �������� $M_3^{\gamma , \epsilon}$ �� �������� ������������� ������ � $P_3$.
\end{proposition}

\begin{proof}
�������, ��� ����� �������� $\neg^\epsilon$ � $\supset^\gamma$ �� ������� ������� �������� $f^{1}(x)$, ����� ��� $f^{1}(\frac{1}{2}) = 1$ � $f^{1}(0) = 0$.

����������� ���������. ����� $f^1$ ������ �������� � $M_3^{\gamma , \epsilon}$, ��������� ����� $k$ ��������� $\supset^{\gamma}$ � $\neg^{\epsilon}$.

������ ��������, ��� $f^1$ ����� �������� ����������� ������������ $g$ �������� $\supset^{\gamma}$ � $\neg^{\epsilon}$, ���������� � �������� $k$ ��������� ������ ��������.

������ 1. ����� $g(x)$ ���� $\neg^{\epsilon}h(x)$
\begin{enumerate}
	\item $\neg^{\epsilon}h(\frac{1}{2}) = 1$ � $\neg^{\epsilon}h(0) = 0$ (�� �������)
	\item $h(\frac{1}{2}) \neq 1$ � $h(0) = 1$ (� ���� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $h(x)$ �������� �� ������� ���� ���� �������� � ����� ��� $\neg^{\epsilon}h^*(x)$ ��� $h'(x) \supset^{\gamma} h''(x)$ (�� 2)
	\item ����� $h(x)$ ����� ��� $\neg^{\epsilon}h^*(x)$ (���������)
	\item $\neg^{\epsilon}h^*(\frac{1}{2}) \neq 1$ � $\neg^{\epsilon}h^*(0)=1$ (�� 2 � 4)
	\item $h^*(\frac{1}{2}) = 1$ � $h^*(0)=0$ (�� 5 �� ���������� $\neg^{\epsilon}$). ������ ��� ������������ ������������ ���������. �������������, �������, ��� $h(x)$ ����� ��� $\neg^{\epsilon}h^*(x)$.
	\item $h(x)$ ����� ��� $h'(x) \supset^{\gamma} h''(x)$ (�� 3 � 6)
	\item $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\gamma} h''(\frac{1}{2}) \neq 1$ � $h'(0) \supset^{\gamma} h''(0) = 1$ (�� 1, 7)
	\item $h'(\frac{1}{2}) = 1$ � $h''(\frac{1}{2}) \neq 1$ (�� 8)
	\item $h'(0) \neq 1$ ��� $h''(0) = 1$ (�� 8)
	\item ����� $h'(0) \neq 1$ (���������)
	\item $\neg^{\epsilon}\neg^{\epsilon}h'(0) = 0$ (�� 11 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $\neg^{\epsilon}\neg^{\epsilon}h'(\frac{1}{2}) = 1$ (�� 9 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $\neg^{\epsilon}\neg^{\epsilon}h'(x)$ �������� ����� $k$ ��������� ������. �������������, �������, ��� $h'(0) \neq 1$ (�� 12, 13 � ������������ ���������)
	\item $h''(0) = 1$ (�� 10, 14)
	\item $\neg^{\epsilon}h''(0) = 0$ (�� 15 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $\neg^{\epsilon}h''(\frac{1}{2}) = 1$ (�� 9 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item	$\neg^{\epsilon}h''(x)$ �������� ����� $k$ ��������� ������. �������, ��� $g(x)$ ���� $\neg^{\epsilon}h(x)$ (�� 16, 17 � ������������ ���������)
\end{enumerate}



������ 2. ����� $g(x)$ ���� $h'(x) \supset^{\gamma} h''(x)$
\begin{enumerate}
	\item $h'(\frac{1}{2}) \supset^{\gamma} h''(\frac{1}{2}) = 1$ � $h'(0) \supset^{\gamma} h''(0) = 0$ (�� �������)
	\item $h'(0) = 1$ � $h''(0) = \frac{1}{2}$ (�� 1 �� ����������� $\supset^{\gamma}$)
	\item $h'(\frac{1}{2}) \neq 1$ ��� $h''(\frac{1}{2}) = 1$ (�� 1 �� ����������� $\supset^{\gamma}$)
	\item ����� $h'(\frac{1}{2}) \neq 1$ (���������)
	\item $\neg^{\epsilon}h'(\frac{1}{2}) = 1$ (�� 4 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $\neg^{\epsilon}h'(0) = 0$ (�� 2 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $\neg^{\epsilon}h'(x)$ �������� ����� $k$ ��������� ��������. ����� �������, �������, ��� $h'(\frac{1}{2}) \neq 1$ (�� 5, 6 � ������������ ���������)
	\item $h''(\frac{1}{2}) = 1$ (�� 3, 7)
	\item $\neg^{\epsilon}\neg^{\epsilon}h''(\frac{1}{2}) = 1$ (�� 8 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $\neg^{\epsilon}\neg^{\epsilon}h''(0) = 0$ (�� 2 �� ����������� $\neg^{\epsilon}$)
	\item $\neg^{\epsilon}\neg^{\epsilon}h''(x)$ �������� $m (m\leq k)$ ��������. ������ ��� ������������ ������������ ��������� � ������ 1 ���������� ��������������.
\end{enumerate}
����� ������� ����� ������� �������� $M_3^{\gamma , \epsilon}$ �� �������� ������������� ������ � $P_3$.
\end{proof}

�� ��������, ��� ��������� �������������� ������� � ������������ ���������� ����������� ���������� �� ������ ����������� �� ���� � �������������� ����� ������, �� � �������� ���������� ���������� ���������. ����� ������� �����, ��� �������������� ������� ������� ������� ������ � ������������-���������� ���������� ������� �� �������� ����������� ��������� ������������ ������ ������������.

� ����������� ���������� ������� ������������ ���������� � ���������� �������� ���������� ���������� ����������. �� ����, ��� ������������� ��������� ����������:

\begin{itemize}
	\item \textit{���������������}: $x\vee x = x$, $x\wedge x = x$;
	\item \textit{���������������}: $x\vee y = y\vee x$, $x\wedge y = y\wedge x$;
	\item \textit{���������������}: $x\vee (y\vee z) = (x\vee y)\vee z$, $x\wedge (y\wedge z) = (x\wedge y)\wedge z$;
	\item \textit{����������}: $x\vee (x\wedge y) = x$, $x\wedge (x\vee y) = x$.
\end{itemize}

��� �� ��� ��� ������������� ���� ������? ������� ���������� ����� ���������� � ���������:

\begin{center}
$x\vee y = \neg x \supset y$.
\end{center}

� ����������� �� ��������� $\neg$ � $\supset$ ����� ���������� ���� �� ��������� ������.

\begin{center}
\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\vee^1$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$1$&$1$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$0$&$0$\\
$0$&$1$&$0$&$0$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\vee^2$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$1$&$1$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
$0$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
\end{tabular}
\\
\\
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\vee^3$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$1$&$1$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$0$&$\frac{1}{2}$\\
$0$&$1$&$0$&$\frac{1}{2}$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\vee^4$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$1$&$1$\\
$\frac{1}{2}$&$1$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$\\
$0$&$1$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$\\
\hline
\end{tabular}

\end{tabular}
\end{center}

�������� $\vee^1$ ������������ $M_3^{\alpha , \epsilon}$ � $M_3^{\alpha , \varphi}$.
�������� $\vee^2$ ������������ $M_3^{\beta , \epsilon}$ � $M_3^{\beta , \varphi}$.
�������� $\vee^3$ ������������ $M_3^{\gamma , \epsilon}$ � $M_3^{\gamma , \varphi}$.
�������� $\vee^4$ ������������ $M_3^{\delta , \epsilon}$ � $M_3^{\delta , \varphi}$.

������ ��������� ���������� ����� ��������� � ���������:

\begin{center}
$x \wedge y = \neg (x \supset \neg y)$.
\end{center}

� ����������� �� ��������� $\neg$ � $\supset$ �������� ��� ��������.

\begin{center}
\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\wedge^1$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$0$&$0$\\
$\frac{1}{2}$&$0$&$0$&$0$\\
$0$&$0$&$0$&$0$\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$\wedge^2$&$1$&$\frac{1}{2}$&$0$\\
\hline
$1$&$1$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$\\
$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$\\
$0$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{2}$\\
\hline
\end{tabular}

\end{tabular}
\end{center}

�������� $\wedge^1$ ������������� $M_3^{\alpha , \epsilon}$, $M_3^{\beta , \epsilon}$, $M_3^{\gamma , \epsilon}$, $M_3^{\delta , \epsilon}$. �������� $\wedge^2$ ������������� $M_3^{\alpha , \varphi}$, $M_3^{\beta , \varphi}$, $M_3^{\gamma , \varphi}$, $M_3^{\delta , \varphi}$.

\begin{center}
\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\ & $M_3^{\alpha , \epsilon}$ & $M_3^{\beta , \epsilon}$ & $M_3^{\gamma , \epsilon}$ & $M_3^{\delta , \epsilon}$ \\
\hline
$x\vee x = x$& $-$ & $+$ & $-$ & $-$ \\
\hline
$x\wedge x = x$& $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
\hline
$x\vee y = y\vee x$& $+$ & $-$ & $-$ & $+$ \\
\hline
$x\wedge y = y\wedge x$& $+$ & $+$ & $+$ & $+$ \\
\hline
$x\vee (y\vee z) = (x\vee y)\vee z$& $+$ & $+$ & $-$ & $+$ \\
\hline
$x\wedge (y\wedge z) = (x\wedge y)\wedge z$& $+$ & $+$ & $+$ & $+$ \\
\hline
$x\vee (x\wedge y) = x$& $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
\hline
$x\wedge (x\vee y) = x$& $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\ & $M_3^{\alpha , \varphi}$ & $M_3^{\beta , \varphi}$ & $M_3^{\gamma , \varphi}$ & $M_3^{\delta , \varphi}$ \\
\hline
$x\vee x = x$& $-$ & $+$ & $-$ & $-$ \\
\hline
$x\wedge x = x$& $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
\hline
$x\vee y = y\vee x$& $+$ & $-$ & $-$ & $+$ \\
\hline
$x\wedge y = y\wedge x$& $+$ & $+$ & $+$ & $+$ \\
\hline
$x\vee (y\vee z) = (x\vee y)\vee z$& $+$ & $+$ & $-$ & $+$ \\
\hline
$x\wedge (y\wedge z) = (x\wedge y)\wedge z$& $+$ & $+$ & $+$ & $+$ \\
\hline
$x\vee (x\wedge y) = x$& $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
\hline
$x\wedge (x\vee y) = x$& $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

����� �������, �� � ����� �� ��������������� ������ ���������� � ���������� �� �������� ���������� ���������� ����������.

\setlength{\extrarowheight}{0pt}
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem {Boc_1938}	\textit{������ �.�.\/} �� ����� ����������� ���������� � ��� ���������� � ������� ���������� ������������� ������������ ��������������� ���������� // �������������� �������. �. 4, �2, 1938, �. 287-308.

\bibitem {Dev_2008} \textit{�������� �.�.\/} ������������ �������� ������������ ����������������� ������. ������������ ����������� �� ��������� ������ ������� ��������� ����������� ����. �., 2008. C.~29.

\bibitem{Men_1984} \textit{���������� �.\/} �������� � �������������� ������. �. 1984. �. 33.

\bibitem {Avr_1991} \textit{Avron A.\/} Natural 3-valued logics � characterization and proof theory // The Journal of Symbolic Logic, 56 (1): 276-294.

\bibitem {Mon_1967} \textit{Monteiro A.\/} Construction des algebres de Lukasiewicz trivalentes dans les algebres de Boole monadiques, I // Mathematica Japonica, 12: 1-23.

\bibitem {Slu_1967} \textit{S\l upecki J., Bryl J. and Prucnal T.\/} Some remarks on the three-valued logic of J. �ukasiewicz // Studia Logica, 21: 45-70.
\end{thebibliography}

\EndPaper 